수학 잘하는 아이는 이렇게 공부합니다, 수학적 사고를 알려주는 책

 

(책의 내용이 너무 뒤죽박죽인 느낌이라 나만의 목차를 만들어서 다시 분류하는 게 나을 정도.

일단 1차적으로 책의 중요 내용을 일로 옮긴다.

2차는 문장을 짧고 간결하게 다듬는다.

3차는 목차를 다시 만들어서 그 목차에 맞는 내용을 넣는다.)

 

경제학, PSAT의 재료해석 등 '수학적 사고'가 필요한 과목을 어떻게 해야하는지 중요한 힌트를 얻은 책.

 

만약 당신도 이런 수학적 사고가 필요한 과목에서 어려움을 겪는다면?

오늘은 그분들을 위한 글입니다.

 

난이도 : 1/10

문장이 친절하다. 주어가 무엇인지를 정확하게 알려주고, 예시를 많이 적었다.

총평:
수학응 어쩧데 공부할 수 있는지 알아냄.
수학같은 과목인 경제, 회계(재무, 원가), 재무관리, 피셋의 자료해석 등에도 적용할 수 있다. 수학적 사고력 즉 문제해결력이 중요한 과목이기 때문이다.

아이를 키우는 엄마를 대상으로 쓴 책이지만, 각종 시험을 보는 수험생에도 적용할 수 있는 내뇽이 많다.

아이에게 말하는 내용을 수험생으로 바꿔서 보면 와닿는 내용이 많다

가령, 미취학 아동일때 집중력을 키우는 게 중요하다고 하는데, 이는 성인이 된 우리도 필요하다면 그 단계를 다시 ㅋ거쳐야한다.

 

아쉬운점은 반복되는 문장이 너무 많아서 지루했다.
출판되는 책의 분량을 맞추고 강조할려고 그런 것 같은데 오히랴 강조가 아니라 너무 뻔하기 느껴졌다. 잘 안와닿았음. 희소성이 없어져서.

 

 

 

1장 학년이 올라갈수록 수학 성적이 떨어지는 이유

[수학을 제대로 공부하는 방법을 모른다]

 

다른 과목과 달리 수학은 이해하는 것만으로는 실력을 키울 수 없습니다.

수학은 문제를 독해하고 분석하는 능력, 배운 개념들을 가지고 어떻게 문제를 풀어나갈지를 설계하는 능력,

주어진 조건들을 보고 추론하는 능력이 필요합니다.

이를 문제해결력 혹은 심화능력이라 부릅니다.

 

문제해결력은 별도의 연습이 필요합니다. 그렇지 않으면 언어능력이 높아서 갖춘 뛰어난 이해력으로 개념 선행은 잘 하지만 수학은 못 할 수 있습니다. 이해력은 개념이나 문제풀이에 대한 이해를 뜻합니다. 이해력은 문제를 처음 독해하는 과정에만 필요합니다.

이해력이 발달된 학생은 아무리 어려운 문제라도 해설지를 보면 다 이해합니다. 하지만 힘들 때마다 너무나 쉽게 도움을 받기 때문에 '생각 멈추기'가 습관이 됩니다. 조금이라도 낯선 유형을 접하면 뇌는 그 문제를 해결하려 하지 않고 편하게 해설지 찬스를 씁니다.

 

<제대로 된 심화란, 어려운 문제를 시간이 오래 걸리더라도 자기 스스로 해결하는 것입니다.

아이가 제대로 된 문제해결력만 갖추면, 빠른 선행이나 많은 복습이 의미가 없다는 사실을 알게 될 것입니다.>

 

수학의 개념은 추상적인 언어로 표현되어서 쉽게 외울 수 없습니다. 즉 개념 정리는 문제 푸는 행위에 의해 완성됩니다.

문제 속에서 개념이 어떻게 쓰이는지를 확인해야 개념 정리가 됩니다. 

독서를 많이 한 학생은 추상적인 개념을 해석하여 머릿속에 체계적으로 분류해서 저장하는 능력이 탁월하기 때문에 자연스럽게 개념을 이해하고 암기할 수 있습니다.

하지만 대부분은 의식적으로 영어 단어를 암기하듯이 정의와 정리를 이해했으면 이를 암기하는 작업이 필요합니다. 개념이 적용되는 필수 예제를 풀이와 함께 보면서 암기해야 합니다.

 

언어능력을 기르려면 어떻게 해야할까요? 유아 시기부터 부모가 헌신적으로 노력해 초등 저학년까지 독서 습관을 잡아야 합니다. 언어능력은 좋아하고 재밌는 책을 몰입해서 읽을 때, 인과관계를 파악하는 이해려기나 추론능력 등이 발달되어 생깁니다. 가끔 공부를 아주 많이 하거나, 바둑 같은 복잡한 무언가를 매우 열심히 할 경우에도 생겨납니다.

 

언어능력이 높은 경우 수학 문제해결력을 형성하는 것이 매우 수월합니다. 초등 시절 언어능력이 높아서 머리가 좋아 보이거나 이해력이 좋은 학생은 반드시 문제해결력을 기르는 연습을 시켜야 합니다.

 

언어능력이 떨어지면 내용을 체계화하고 분류해서 머릿속에 집어넣는 능력이 떨어지므로 문장제 문제(서술형 문제) 해석을 어려워합니다.

또한, 배워도 빨리 잊어버리는 특징이 있습니다. 이럴 때는 여러 번 이해와 암기를 반복해야 극복할 수 있습니다.

 

 

 

2장 올바른 수학 공부가 수학 성적을 결정한다.

[수학 공부를 제대로 이해해야 수학을 잘한다]

수학 공부의 본질

수학은 주어진 명령을 이해하고, 하라는 대로 하는 학문입니다.

수학의 개념은 크게 정의(약속)와 정리(공식과 성질)로 이루어져 있습니다.

'정의'는 약속입니다. "A는 B다."의 꼴로 표현합니다. 예를 들어 "마주 보는 두 변이 평행한 사각형을 평행사변형이라고 부른다."라고 정의할 수 있습니다.

어떤 용어를 정의하려면 또 다른 용어가 필요합니다. 계속 정의하다보면, 더 이상 다른 용어로 설명할 수 없는 '최초의 용어'가 생깁니다. 이를 '무정의 용어'라고 합니다. "점은 점이다."와 같이 "A는 A다."의 형태로 표현되는 것입니다.

 

정의로부터 나오는 정리가 있습니다. 평행사변형의 정리(성질) 중 하나는 "두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다." 입니다. 정리는 참인 명제이기에 '증명'이 필요합니다. 증명이란 그 명제가 참임을 설명하는 것으로 정리를 배우면 이 정리가 왜 참인지(성립하는지)를 알기 위해 증명을 배웁니다.

정의와 정리는 이해의 대상을 넘어 암기의 대상입니다. 따라서 수학을 전공한 사람은 수학이 암기 과목이라는 것에 동의합니다. 수학은 주어진 조건들과 배운 내용(정의와 정리)들을 이용해서 문제를 해결하는 과정이기 때문입니다.

 

수학 공부는 스스로 생각하기와 직접 연필을 움직여보는 쓰기 방식이 주가 되어야 합니다. 듣기와 보기 방식으로 수학을 하면 안됩니다. 학원이나 인터넷 강의는 주로 수동적인 과정이라 금방 배웠던 개념을 잊어버립니다. 그리고 새로운 유형을 접할때마다 누군가에게 도움을 받아야만 해결할 수 있는 상태가 됩니다.

개념을 읽고 그 의미를 파악한다는 것은, 머릿속에서 하나하나 그 의미를 따져보면서 이해하는 능동적인 과정입니다.

처음 보는 개념을 스스로 이해하려고 노력하면 시간이 오래 걸리지만, 나중에 낯선 문제를 풀거나 새롭게 정의된 함수를 이용하는 킬러형 고난도 문제를 풀 때 꼭 필요한 문제해석능력을 키워줍니다. 수학도 힘들고 어렵게 공부해야 탄탄한 수학 실력을 키울 수 있습니다.

 

스스로 개념을 읽고 이해했다면, 이제 문제를 풀 차례입니다. 문제를 풀다가 막히면 가장 먼저 해야 할 일은 개념을 다시 확인하는 것입니다. 필요한 개념을 잊어버리지 않았는지, 개념을 찬찬히 훑어보면서 어떤 개념을 가져다 써야하는지를 파악해야합니다.

그래도 안풀리면 이전에 풀었던 문제 중에 이 문제와 유사한 유형의 문제를 찾아봅니다. 그 문제의 풀이를 확인하고, 다시 한 번 막힌 문제를 풀어봅니다.

 

 

 

 

수학 잘하는 습관은 5 가지 있습니다.

첫 번째, 자기주도성 입니다. 자기 주도적으로 문제를 풀지 않고 해설지에 의존하는 아이들은 문제해결력을 키울 수 없습니다. 또한, 조금만 풀고 바로 채점해도 마찬가지 입니다. 2~3시간의 약속된 수학 공부가 끝난 후 채점을 해주세요. 채점도 긴 호흡으로 해야 아이들의 집중력과 문제해결력이 상승합니다.

 

두 번째, 내 언어로 정리하는 습관 입니다.

수학 개념을 자기만의 언어로 정리하여, 개념들의 순서를 본인이 이해하기 편한 방식으로 재배열해서 정리하는 학생들이 있습니다. 강의에서 배운 개념과 개념교재에 있는 개념 그리고 필수 예제 등을 인과관계에 맞춰서 노트에 정리합니다.

이 아이들은 메타인지능력이 뛰어납니다.

 

3. 역질문

강의 풀이를 보면서 머릿속에서 같이 풀어가고 계산하고 논리를 따라갑니다. 그러다가 잘 이해가 안가거나 본인의 논리와 차이나는 지점이 있으면 바로 역질문을 합니다. 이런 학생들은 스스로 생각하고, 문제를 풀어가는 자기만의 논리에 대한 자신감을 가지고 있기 때문에, 앞으로 수학을 잘해낼수 있을 것입니다.

수학 문제에 대한 호기심을 가지고, '이 설명이 충분한가? 내가 이해 안되는 부분은 없나?'하고 계속 스스로를 되집어보며 역질문을 하는 습관을 기르면 좋습니다.

 

4. 성실성

이과의 경우 특히 학습량이 많기 때문에 이런 성실한 태도는 이과 수학을 잘하기 위한 필수조건입니다.

 

5. 스스로 짜는 학습 계획

학습 계획을 짜는 것은 수학을 포함한 모든 과목을 잘하게 만들어줍니다.

가장 필요한 것은 먼저 해야 할 일을 우선순위에 맞춰 정리하는 방법을 아는 것이고 두번째는 시간에 맞춰 할 일을 분배할 수 있는 능력입니다.

 

[선행보다 심화가 중요한 이유, 문제해결력]

기본(현행), 심화, 선행,

만약 반드시 하나에 포커스를 둔다면 심화에 두는 것이 낫다.

 

문제해결력이란 자기 스스로 분석하고 해석해서 오랜 시간 동안 고민하여 해결하는 능력입니다. 핵심은 쉬운 문제부터 스스로 해결하는 습관을 만드는 것이 중요합니다. 질문하거나 해설지를 보지 않아도 게념만 다시 읽어보거나 기존의 비숫한 유형을 찾으면 충분히 풀 수 있습니다.

 

문제해결력을 극대화한 아이들은 개념만 알아도 모든 문제를 풀 수 있습니다. 반대로 이 능력이 부족하다면 문제집 열 권을 풀고 유형을 암기해야 100점을 받을까 말까 한 상태가 됩니다.

 

문제를 풀 때의 집중력은 답지가 없을 때 가장 높습니다. 학생들의 경우는 시험 보는 상황이 가장 높겠죠.

저도 답지가 있을 때는 문제를 대충 풀고, 틀리면 어디를 놓쳤는 지 확인하며 편하게 풀게 됩니다.

 

시간에 쫓기면서 고난도 문제를 해결하는 연습은 실제 시험을 볼 때 낯선 유형을 해결하는 데 많은 도움을 줍니다.

악조건에서 문제를 푸는 것도 집중력과 문제해결력 향상에 많이 도움됩니다. 거실이나 카페 등 어수선한 곳에서 시간을 재고, 연습장 없이 문제집이나 시험지의 좁은 여백에 식을 쓰고 문제를 푸는 것입니다.

 

위와 같은 연습을 한다면, 문제집 한 권을 푸는 시간도 2주면 충분하고 문제집을 풀 때마다 "한 권 풀어서 세 문제 건졌네!"라는 느낌, 즉 더 이상 새롭거나 낯선 유형이 없는 느낌을 받을 것입니다. 이럴 때 친구들의 수학 질문을 받아주면 친구들이 푸는 문제집에서 어려운 문제만 골라 푸는 셈이 되고, 짧은 쉬는 시간에 문제해결력 연습도 할 수 있습니다.

 

식을 정리해서 풀어야 할까?

식을 예쁘게 정리하면서 푸는 학생들은 최상위권은 되지 못하는 경우가 많습니다.

중고등학교 서술형 시험 채점 방식을 보면, 문제를 풀어가는 데 꼭 필요한 식과 답이 맞으면 거의 점수를 다 받습니다.

대학교 '학생 우수 답안'을 보면 논리적 글쓰기에 한참 모자라는, 필요한 식과 답만 쓴 경우도 있습니다. 주가 되는 것은 문제를 풀 수 있는 능력이지, 답안을 형식적, 논리적으로 쓰는 것이 아닙니다.

 

수학을 잘해서 명문대에 가는 학생들은 그냥 문제를 보고 머릿속에서 문제를 정리한 후 문제를 푸는 데 필요한 식이나 아이디어를 연습장에 적어가면서 답을 냅니다. 즉, 해설지같이 체계적으로 정돈하면서 노트에 식을 쓰며 풀지 않습니다.

그렇게 푸는 것이 효율적이고 문제 푸는 속도도 높여줍니다.

 

초딩, 문제해결력을 키우려면 오답 시키지 마라?

수학을 많이 못하거나 연산이 너무 안되면 반복학습이나 오답이 필요합니다.

그러나 중상위권 초등학생들에게 오답을 시키는 것은 약간 고민해볼 주제입니다. 

오답이란 반복학습을 통해 풀이를 암기하는 행위입니다. 반드시 오답을 해야 하는 학생은 내신 시험이나 수능 시험을 봐서 성과를 내야 하는 중고등학생입니다. 초등학생 때는 그보다 더 중요한 게 있습니다. 

바로 '문제해결력 향상'입니다.

문제해결력은 낯선 문제를 어떻게 풀 것인지 오랫동안 고민하는 과정에서 생깁니다.

만약 초등학생에게 무한 오답을 시켜 최상위 심화교재를 완벽하게 복습시킨다면, 그 다음 과정 최상위부터는 훨씬 익숙해지고 쉬울 수 있습니다. 하지만 문제해결력이 많이 향상도지 않을 가능성이 높습니다. 익숙하지 않은 낯선 문제를 푸는 느낌이 많이 사라졌기 때문입니다.

 

연산교재, 꼭 풀어야 할까?

언어능력이 발달한 학생은 굳이 연산을 하지 않아도 교과 수학을 잘 이해하고 풉니다. 어떤 개념을 쉽게 이해하고 체계적으로 머릿속에 집어넣어 오랫동안 기억을 하므로 연산의 규칙대로 문제를 정확하게 풀게 되며, 문제를 푸는 과정에서 연산의 규칙을 사용하는 능력이 강화됩니다.

연산교재의 단점은 단순 반복 연습을 시킴으로써 수학에 질리게 만들 수 있고, 집중력 없이 문제를 푸는 습관도 생길 수 있습니다.

장점은 교과 진도를 나가는 데 좀 더 수월합니다. 그러나 교과 수학에 나오는 연산만으로 충분하니 따로 연산교재를 하지 않는 것을 추천한다.

 

 

수학적 사고력이란 무엇인가?

 

3장 올바른 공부 습관 만들기

효과적인 공부법이란 없다 - 공부의 본질은 무엇인가

공부는 습관이다 - 동기부여는 필요없다, 공부를 열심히 하면 생기는 일

공부 습관이 잡히지 않을 때 - 엉덩이 힘부터 길ㄹ려라, 항상 마무리하는 습관 길려라, 무의식의 도움을 받아라

 

4장 독학 수학, 실패하지 않는 법

독학만 한 학생이 최상위권에 못드는 이유

자기주도성을 길러라

독서를 통한 언어 능력 기르기

 

5장 수학 학원 잘 보내고 잘 다닐려면

학원을 오래 다녀도 성적이 안오르는 이유

진도를 빨리 나가는 경우, 학원에 의존해 학습능력을 키우지 않은 경우

수학 숙제를 날림으로 한다는 건 어떤 의미일까.

날림을 방지하기 위해 부모가 할 수 있는 것

학원에서 빨리 잊어버리는 아이를 도와주는 법

 

6장 수포자가 되지 않으려면

수학 개념을 암기하는 방법

왜 수학을 못하는 걸까?

수포자들 공통 특징

이미 수포자라면 어떻게 해야 할까

수학을 잘할 것 같으나 못하는 아이. 많이 풀고 많이 틀리는 아이 vs ~~

 

7장 최상위권으로 도약하기 위한 수학 공부법

수학 시험 실전 연습법- 문제를 정확하게 읽지 못하는 아이, 계산 실수, 환경에 휘둘리는 아이

수학 오답 제대로 하는 법 - 와답의 필요성, 형식적인 오답은 오답이 아니다, 주기적으로 오답하는 법, 스스로에게 설명하기

제대로 다회독하는 법 - 다회독이란? 다회독에 실패하는 경우, 제대로 다회독하는 3단계

개념노트 효과적인 사용법, 연ㅇ습장 사용법, 풀이 노트 사용법

수학 기본개념은 무엇인가? 유형개념은 무엇인가? 심화개념은 무엇인가? 개념 독학하는 법

슬럼프에 빠지지 않으려면 - 부정적인 시선이 슬럼프 만든다,

1. 규칙적인 생활 2. 계획표 만들기 3. 긍정적 무의식 만들기

효율적으로 공부 방법 - 암기하는 법, 항상 집중하는 법, 공부 잘하는 학생 따라하기